En un ámbito más formal, el hallar operaciones desconocidas se da por excelencia cuando se trata de resolver ecuaciones diferenciales, integrales o funcionales.
Como ejemplo de ecuación funcional, vale el siguiente. Los impuestos suelen depender del total de dinero que se posee. Un matrimonio decidió presentar su total de dinero repartido entre ambas personas, en forma variada, como para tener que pagar menos impuesto en el total de ambos. Pero esto no siempre es posible. ¿En qué caso de función de pago esta división se hace conveniente? ¿En qué casos inconveniente, y conviene presentar el total todo junto? ¿En qué casos da lo mismo?
Va a depender de la función de impuesto f, es decir cuánto se debe pagar f(x) en función del total de dinero x.
La conocida como ecuación de Jensen (de 1903) es, simplificando un poco:
f( (x+y)/2 ) = ( f(x) + f(y) ) / 2
Debe valer para cualquier par de valores x,y reales.
Dice que el impuesto del promedio del dinero es lo mismo que el promedio de los impuestos, en este caso para dos personas.
La solución más general ya se conocía mucho antes, y es una función lineal:
f(x) = Cx + A
donde C y A son constantes arbitrarias. Es decir, la función debe ser proporcional a x, salvo posiblemente una constante. Es razonable: en esos casos, da lo mismo dividirse la plata que no dividírsela.
Otro ejemplo: la ecuación de Cauchy
f(xy) = f(x) + f(y),
Si se trata de funciones continuas, definidas en todos los números reales salvo el 0, la solución más general es
f(x) = C log |x|
donde C una constante real arbitraria. Pero también es solución
f(x) = 0
que está definida para todos los reales. Es decir, estas son las funciones que transforman producto en suma.
Otro ejemplo más: la ecuación funcional de D'Alembert (de 1750) es:
f(x + y) + f(x -y) = 2f(x)f(y)
Tiene varias soluciones generales, comenzando por las más sencillas éstas son:
f{x) = 1 para todo x
f(x) = 0 “ “
f(x) = cos(Bx) “ “
f{x) = cosh(Bx) “ “
donde B es una constante arbitraria.
Hemos visto ejemplos de ecuaciones funcionales, un tema que, presentado de esta manera, no está presente en libros de texto básicos de grado.
Como ejemplo de ecuación funcional, vale el siguiente. Los impuestos suelen depender del total de dinero que se posee. Un matrimonio decidió presentar su total de dinero repartido entre ambas personas, en forma variada, como para tener que pagar menos impuesto en el total de ambos. Pero esto no siempre es posible. ¿En qué caso de función de pago esta división se hace conveniente? ¿En qué casos inconveniente, y conviene presentar el total todo junto? ¿En qué casos da lo mismo?
Va a depender de la función de impuesto f, es decir cuánto se debe pagar f(x) en función del total de dinero x.
La conocida como ecuación de Jensen (de 1903) es, simplificando un poco:
f( (x+y)/2 ) = ( f(x) + f(y) ) / 2
Debe valer para cualquier par de valores x,y reales.
Dice que el impuesto del promedio del dinero es lo mismo que el promedio de los impuestos, en este caso para dos personas.
La solución más general ya se conocía mucho antes, y es una función lineal:
f(x) = Cx + A
donde C y A son constantes arbitrarias. Es decir, la función debe ser proporcional a x, salvo posiblemente una constante. Es razonable: en esos casos, da lo mismo dividirse la plata que no dividírsela.
Otro ejemplo: la ecuación de Cauchy
f(xy) = f(x) + f(y),
Si se trata de funciones continuas, definidas en todos los números reales salvo el 0, la solución más general es
f(x) = C log |x|
donde C una constante real arbitraria. Pero también es solución
f(x) = 0
que está definida para todos los reales. Es decir, estas son las funciones que transforman producto en suma.
Otro ejemplo más: la ecuación funcional de D'Alembert (de 1750) es:
f(x + y) + f(x -y) = 2f(x)f(y)
Tiene varias soluciones generales, comenzando por las más sencillas éstas son:
f{x) = 1 para todo x
f(x) = 0 “ “
f(x) = cos(Bx) “ “
f{x) = cosh(Bx) “ “
donde B es una constante arbitraria.
Hemos visto ejemplos de ecuaciones funcionales, un tema que, presentado de esta manera, no está presente en libros de texto básicos de grado.
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