Para quienes gusten de la aritmética. Este es uno de aquellos tantos intentos fallidos que podría llegar a hacer algún aficionado o desprevenido que quiera obtener números primos muy fácilmente o con "poco esfuerzo". Lo que sigue es un ejercicio sencillo, que descarta uno de esos intentos.
Sean s y t dos números enteros positivos. Usamos la operación de "concatenación". Denotamos st al número entero que tiene por dígitos (en base decimal) los dígitos de s seguidos de los dígitos de t, en ese orden. Así podemos armar los números ss, st, sts, etc. (por ej. concatenando 1 y 34 resulta 134).
a) Probar que si s es un entero positivo, entonces a lo largo de la secuencia de enteros s, ss, sss, ssss, ... aparecerá en algún momento algún número no primo. Más aún, es fácil acotar y dar un número máximo de términos que harán falta para que aparezca un no primo (muy pocos términos; incluso, hilando más fino, se ve que en la secuencia aparecerá una infinitud de no primos).
b) Probar que si s y t son dos números enteros positivos, entonces a lo largo de la secuencia de enteros s, st, sts, stst, ststs, ... aparecerá en algún momento algún número no primo. Acá también se puede acotar, aunque con otro valor.
c) Más generalmente, pasará lo mismo si arrancamos de n enteros s1, s2, ..., sn, en vez de dos, y consideramos la secuencia s1, s1s2, s1s2s3,..., s1s2s3...sn, s1s2s3...sns1, s1s2s3...sns1s2, etc. es decir ciclando por todos los dados en el orden en que vienen y concatenando.
Por ej., tomando inicialmente 3, 7 y 1, la secuencia es 3, 37, 371, 3713 el cual ya no es primo (3713 = 47 x 79). (Si quieren, muestren otro ejemplo que arranque con 3 números y logre 5 primos, de ser posible.)
No lean lo que sigue, pues viene un consejo o ayuda para (a), (b) y (c). Aunque parezca que (c) es más complejo que (b) y (b) más complejo que (a) (al ser cada vez más general), pueden probar primero (a) para luego concluir (b) y, a partir de (b), concluir (c).
d) Posiblemente un problema abierto (si alguien puede aportar o aclarar sobre esto será interesante): encontrar dos primos s y t tales que el número st sea primo, el más grande posible. O probar que hay infinitos pares de primos s y t tales que st es primo. En este problema particular podríamos considerar primo al 1 si se desea usar como s o como t.
Sean s y t dos números enteros positivos. Usamos la operación de "concatenación". Denotamos st al número entero que tiene por dígitos (en base decimal) los dígitos de s seguidos de los dígitos de t, en ese orden. Así podemos armar los números ss, st, sts, etc. (por ej. concatenando 1 y 34 resulta 134).
a) Probar que si s es un entero positivo, entonces a lo largo de la secuencia de enteros s, ss, sss, ssss, ... aparecerá en algún momento algún número no primo. Más aún, es fácil acotar y dar un número máximo de términos que harán falta para que aparezca un no primo (muy pocos términos; incluso, hilando más fino, se ve que en la secuencia aparecerá una infinitud de no primos).
b) Probar que si s y t son dos números enteros positivos, entonces a lo largo de la secuencia de enteros s, st, sts, stst, ststs, ... aparecerá en algún momento algún número no primo. Acá también se puede acotar, aunque con otro valor.
c) Más generalmente, pasará lo mismo si arrancamos de n enteros s1, s2, ..., sn, en vez de dos, y consideramos la secuencia s1, s1s2, s1s2s3,..., s1s2s3...sn, s1s2s3...sns1, s1s2s3...sns1s2, etc. es decir ciclando por todos los dados en el orden en que vienen y concatenando.
Por ej., tomando inicialmente 3, 7 y 1, la secuencia es 3, 37, 371, 3713 el cual ya no es primo (3713 = 47 x 79). (Si quieren, muestren otro ejemplo que arranque con 3 números y logre 5 primos, de ser posible.)
No lean lo que sigue, pues viene un consejo o ayuda para (a), (b) y (c). Aunque parezca que (c) es más complejo que (b) y (b) más complejo que (a) (al ser cada vez más general), pueden probar primero (a) para luego concluir (b) y, a partir de (b), concluir (c).
d) Posiblemente un problema abierto (si alguien puede aportar o aclarar sobre esto será interesante): encontrar dos primos s y t tales que el número st sea primo, el más grande posible. O probar que hay infinitos pares de primos s y t tales que st es primo. En este problema particular podríamos considerar primo al 1 si se desea usar como s o como t.
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