El jugador científico

1) Puede ser de fotos, o de papel, o -vulgarmente- de la panza. ¿Qué es? 2) Puede ser de fotos, o una habitación (y a la vez involucra un tipo de música). ¿Qué es? 3) Puede ser para dar electricidad, o un conjunto de instrumentos, o un conjunto de piezas de artillería, o -menos usado- un conjunto de ingredientes que se comen. ¿Qué es?

Ahora tenemos, como antes, ranas dispuestas a intercambiarse, con la diferencia de que vienen numeradas: M1, M2, ... Mm, F1, F2, ..., Fn, y que ahora una rana podrá saltar sobre otra cualquiera (incluso de su mismo sexo), y hacia cualquiera de ambos lados, siempre que caiga en el espacio vacío. Entonces, partiendo de la posición M1, M2, ... Mm, el espacio vacío, Fn, ..., F2, F1 el objetivo es que queden intercambiadas al igual que antes, pero con los números al revés, es decir Fn, ... F2, F1, el espacio vacío, M1, M2, ..., Mm. ¿Cómo resolverlo en una mínima cantidad de movimientos?

Al ver la solución para un número grande de ranas, si se presta atención al espacio en blanco, ve que éste va describiendo un zigzag, con amplitud que primero va creciendo hasta alcanzar un máximo y después va decreciendo hasta alcanzar un mínimo. Les proponemos explicar este hecho.

Con las reglas anteriores: - Dado n, ¿cómo se calcula cuántos movimientos son sin salto y cuántos son con salto? - ¿Es verdad que para todo natural n existe alguna posición inicial que se soluciona en exactamente n movimientos? - ¿Es verdad que para todo natural n existe alguna posición inicial que se soluciona con exactamente n saltos (entre otros posibles movimientos)?

Con las reglas anteriores: - Busquen una posición inicial tal que hagan falta 3 movimientos. - Busquen una posición inicial tal que hagan falta 10 movimientos. - Busquen una posición inicial tal que la solución sea única y que requiera 7 movimientos.

Ejemplificamos ahora lo anterior, solamente con 2 ranas M y 2 ranas F, partiendo de una posición análoga. Sigue una solución, con 8 movimientos (la representamos como la sucesión de las posiciones que van tomando, indicando con 'M' y 'F' las ranas y con '.' el espacio vacío). Encuentren Uds. la otra solución, ¡o no miren ésta y encuentren las dos! MM.FF M.MFF MFM.F MFMF. MF.FM .FMFM F.MFM FFM.M FF.MM Ahora si arrancamos con 2 M y 3 F, hay 2 soluciones, ambas con 11 movimientos. Una es: MM.FFF MMF.FF M.FMFF .MFMFF FM.MFF FMFM.F FMFMF. FMF.FM F.FMFM FF.MFM FFFM.M FFF.MM Arrancando con MMMM.FFFF hacen falta 24 movimientos. Arrancando con MMMMMM.FFFFFF hacen falta 48 movimientos. Arrancando con MMMMMMMMMMMM.FFFFFFFFFFFF hacen falta 168 movimientos. Dado n, la fórmula que indica la cantidad de movimientos es bastante simple, pero no queremos privarlos del placer de pensarla.

Ranas es un problema abordado por Rouse Ball, Coxeter, Berlekamp, Conway, Guy  y posiblemente otros. Podrían ser ranas y sapos, o ranas macho (M) y ranas hembra (F), las que aparecen inicialmente ubicadas en las posiciones como se indica. Las ranas pueden mover hacia el lado al que miran, o bien en esa dirección saltar sobre una rana distinta. Más precisamente, una rana M puede moverse hacia su derecha un espacio, siempre que este espacio al que llega esté vacío, o bien puede saltar sobre una rana F que esté inmediatamente a su derecha, siempre que caiga en el espacio vacío. Las ranas F mueven análogamente pero hacia la izquierda: o bien al espacio vacío adyacente o bien saltando sobre una rana M y cayendo en el espacio vacío si está a la izquierda de ésta. Se podrá mover una rana M o una rana F en cualquier momento, sin observar turnos. El objetivo es que lleguen quedar intercambiadas las M con las F, es decir, llegar a esta posición: Encuentren cómo moverlas para log...