El jugador científico

1) Puede ser de fotos, o de papel, o -vulgarmente- de la panza. ¿Qué es? 2) Puede ser de fotos, o una habitación (y a la vez involucra un tipo de música). ¿Qué es? 3) Puede ser para dar electricidad, o un conjunto de instrumentos, o un conjunto de piezas de artillería, o -menos usado- un conjunto de ingredientes que se comen. ¿Qué es?

Ahora tenemos, como antes, ranas dispuestas a intercambiarse, con la diferencia de que vienen numeradas: M1, M2, ... Mm, F1, F2, ..., Fn, y que ahora una rana podrá saltar sobre otra cualquiera (incluso de su mismo sexo), y hacia cualquiera de ambos lados, siempre que caiga en el espacio vacío. Entonces, partiendo de la posición M1, M2, ... Mm, el espacio vacío, Fn, ..., F2, F1 el objetivo es que queden intercambiadas al igual que antes, pero con los números al revés, es decir Fn, ... F2, F1, el espacio vacío, M1, M2, ..., Mm. ¿Cómo resolverlo en una mínima cantidad de movimientos?

Al ver la solución para un número grande de ranas, si se presta atención al espacio en blanco, ve que éste va describiendo un zigzag, con amplitud que primero va creciendo hasta alcanzar un máximo y después va decreciendo hasta alcanzar un mínimo. Les proponemos explicar este hecho.

Con las reglas anteriores: - Dado n, ¿cómo se calcula cuántos movimientos son sin salto y cuántos son con salto? - ¿Es verdad que para todo natural n existe alguna posición inicial que se soluciona en exactamente n movimientos? - ¿Es verdad que para todo natural n existe alguna posición inicial que se soluciona con exactamente n saltos (entre otros posibles movimientos)?

Con las reglas anteriores: - Busquen una posición inicial tal que hagan falta 3 movimientos. - Busquen una posición inicial tal que hagan falta 10 movimientos. - Busquen una posición inicial tal que la solución sea única y que requiera 7 movimientos.

Ejemplificamos ahora lo anterior, solamente con 2 ranas M y 2 ranas F, partiendo de una posición análoga. Sigue una solución, con 8 movimientos (la representamos como la sucesión de las posiciones que van tomando, indicando con 'M' y 'F' las ranas y con '.' el espacio vacío). Encuentren Uds. la otra solución, ¡o no miren ésta y encuentren las dos! MM.FF M.MFF MFM.F MFMF. MF.FM .FMFM F.MFM FFM.M FF.MM Ahora si arrancamos con 2 M y 3 F, hay 2 soluciones, ambas con 11 movimientos. Una es: MM.FFF MMF.FF M.FMFF .MFMFF FM.MFF FMFM.F FMFMF. FMF.FM F.FMFM FF.MFM FFFM.M FFF.MM Arrancando con MMMM.FFFF hacen falta 24 movimientos. Arrancando con MMMMMM.FFFFFF hacen falta 48 movimientos. Arrancando con MMMMMMMMMMMM.FFFFFFFFFFFF hacen falta 168 movimientos. Dado n, la fórmula que indica la cantidad de movimientos es bastante simple, pero no queremos privarlos del placer de pensarla.

Ranas es un problema abordado por Rouse Ball, Coxeter, Berlekamp, Conway, Guy  y posiblemente otros. Podrían ser ranas y sapos, o ranas macho (M) y ranas hembra (F), las que aparecen inicialmente ubicadas en las posiciones como se indica. Las ranas pueden mover hacia el lado al que miran, o bien en esa dirección saltar sobre una rana distinta. Más precisamente, una rana M puede moverse hacia su derecha un espacio, siempre que este espacio al que llega esté vacío, o bien puede saltar sobre una rana F que esté inmediatamente a su derecha, siempre que caiga en el espacio vacío. Las ranas F mueven análogamente pero hacia la izquierda: o bien al espacio vacío adyacente o bien saltando sobre una rana M y cayendo en el espacio vacío si está a la izquierda de ésta. Se podrá mover una rana M o una rana F en cualquier momento, sin observar turnos. El objetivo es que lleguen quedar intercambiadas las M con las F, es decir, llegar a esta posición: Encuentren cómo moverlas para lograr

Dos problemas en uno. Sólo son válidos los movimientos que capturan una pieza del color opuesto. Comienza el blanco, y ambos van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza. Por otro lado, si comenzara a jugar el negro, también se puede lograr que quede una sola pieza. ¿Cómo se hace en cada uno de ambos casos?   

Dos problemas en uno. Sólo son válidos los movimientos que capturan una pieza del color opuesto. Comienza el blanco, y ambos van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza. Por otro lado, si comenzara a jugar el negro, también se puede lograr que quede una sola pieza. ¿Cómo se hace en cada uno de ambos casos?   

Dos problemas en uno. Sólo son válidos los movimientos que capturan una pieza del color opuesto. Comienza el blanco, y ambos van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza. Por otro lado, si comenzara a jugar el negro, también se puede lograr que quede una sola pieza. ¿Cómo se hace en cada uno de ambos casos?   

Dos problemas en uno. Sólo son válidos los movimientos que capturan una pieza del color opuesto. Comienza el blanco, y ambos van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza. Por otro lado, si comenzara a jugar el negro, también se puede lograr que quede una sola pieza. ¿Cómo se hace en cada uno de ambos casos?   

Para esta grilla de casillas coloreadas, se pregunta lo siguiente: 1) ¿Cuántos colores distintos hay a lo largo de las distintas casillas? (Sin contar el negro de los bordes.) 2) ¿Cuál es el color del cual hay más casillas pintadas? 3) ¿Cuál es el color del cual hay menos casillas pintadas, y dónde aparece? 4) ¿Cuál es el color que le sigue al anterior como mínimo en número de casillas? 5) Además del color que aparece menos veces, ¿hay algún otro color para el cual todas las casillas pintadas con él estén unidas, ya sea por lados o por puntas, formando así una sola pieza? (Es decir conexa, que se pueda llegar de una a otra sin salir de la figura.) 6) Si se desea recorrer casillas saltando de una a otra adyacente (por lados), de modo que no se repitan casillas, que en cada salto se cambie de color, y tal que se visiten sólo casillas de dos colores distintos, ¿cuál es el camino más largo que consiguen?

Hay que determinar si comienza el blanco o el negro. Por lo demás, es como antes: ambos van capturando alternadamente (piezas del color opuesto) con el fin de que sobreviva una sola pieza; sólo valen las capturas.     

Hay que determinar si comienza el blanco o el negro. Por lo demás, es como antes: ambos van capturando alternadamente (piezas del color opuesto) con el fin de que sobreviva una sola pieza; sólo valen las capturas.    

Hay que determinar si comienza el blanco o el negro. Por lo demás, es como antes: van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza; y sólo vale hacer capturas.     

A continuación, una secuencia de tres caracteres (Ascii). ¿Cuál carácter debería seguir después? O     o     . (Como siempre las secuencias a priori se pueden continuar con cualquier cosa, es decir cualquier respuesta es válida, pero por puro pasatiempo sólo se pide que expliquen a partir de las evidencias la que pensamos nosotros, de ser posible, sin descalificar otras.) Otra secuencia con una idea parecida. ¿Cuál carácter sigue? O     0     l Nota: Algunos sistemas operativos y/o browsers pueden mostrar estos caracteres de manera diferente o inconveniente.

Hay que determinar si comienza el blanco o el negro. Por lo demás, es como antes: ambos van capturando alternadamente (piezas del color opuesto) con el fin de que sobreviva una sola pieza; sólo valen las capturas.   

Como antes, hay que limpiar el tablero hasta que sobreviva la menor cantidad posible de piezas. Comienza el blanco y se alterna con el negro capturando piezas contrarias, con el fin de que queden no más de 2. Sólo valen capturas.           

Ahora los caballos son otra vez caballos, y deberán sobrevivir en total 1 o 2 piezas. Es decir, a veces quedarán 2 y no habrá forma de capturar una más. Comienza el blanco y se alterna con el negro capturando piezas (siempre del color opuesto), con el fin de que queden no más de 2. Sólo valen capturas.

Igual que en los anteriores, pero ahora los que se ven como caballos son caballeros (mueven 3-1 en vez de 2-1). Sólo valen capturas. Blanco y negro van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.

Igual que en los anteriores, pero ahora los que se ven como caballos son caballeros (mueven 3-1 en vez de 2-1). Sólo valen capturas. Blanco y negro van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.

¿Qué son? PE, TO, CA, AL, DA, RE

Seguimos con el ajderez solitario. Llenamos un tablero de 8x8 con un peón blanco en cada casilla. Ahora intentamos que los peones vayan capturando unos a otros, todo lo posible. Sobrevivirá al menos uno, posiblemente más. ¿Cuántos peones podremos capturar en total, como máximo? Es decir, ¿cómo limpiar el tablero de peones lo más posible? Misma pregunta en general para MxN.

Igual que en los anteriores, sólo valen capturas. Blanco y negro van capturando alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.

Otros tamaños pero misma idea: juega blanco, después negro, y así alternadamente hasta capturar todas las piezas excepto claro está la que sobrevive, última en mover. (Sólo vale capturar, no vale mover sin capturar, no hay jugadas especiales, ni jaques, mates ni promociones, y cada rey es una pieza más que puede capturar y ser capturada en el camino en cualquier momento.)

Igual que en el anterior, sólo valen capturas. Blanco y negro juegan (capturan) alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.

Igual que en el anterior, sólo valen capturas. Blanco y negro juegan (capturan) alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.

Igual que en el anterior, sólo valen capturas. Blanco y negro juegan (capturan) alternadamente con el fin de que sobreviva una sola pieza.